MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

Sea ahora la gráfica de al lado, en ella se pueden observar una serie de puntos donde nuestro ciclista pasa de "subir" a "bajar" o bien de "bajar" a "subir". Esos puntos son donde alcanza la cima de una montaña o bien donde se encuentra en el punto más bajo del recorrido. Tiene por tanto sentido que intentemos clasificar también dichos puntos y que a los puntos donde se alcanzan las cimas los llamemos máximos y a los puntos donde alcanza las menores alturas los llamemos mínimos. Observar que en un máximo que no esté en los extremos la función tiene que pasar de creciente a decreciente y que en los mínimos que no están en los extremos la función tiene que pasar de ser decreciente a ser creciente.

Definición 2.-

Sea a un punto del dominio de definición de f, diremos que en a se alcanza:

a) un máximo relativo si



b) un máximo absoluto si



c) un mínimo relativo si



d) un mínimo absoluto si

APLICACCION DE LA DERIVADA EN FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Consideremos la gráfica de abajo en la que se tiene el recorrido de un ciclista en una carrera; en ella se observan desniveles en el recorrido, se tiene un primer trozo en el que el ciclista sube,



después baja y por último sube otra vez hasta llegar a la meta. Pretendemos formalizar el concepto "subir" en la gráfica de una función, para ello tomemos dos puntos x e y del eje X y obtengamos sus asociados del eje Y, se observa que si x
Si por el contrario tomamos dos puntos del eje X en los que la función "baja" con x


Formalicemos los conceptos anteriores y tenemos:

Definición 1.-

Sea un intervalo y sea f una función con dominio I. Entonces:


♥ Decimos que f es creciente en I si x, y I, tales que x f(y)

♥ Decimos que f es decreciente en I si x, y I tales que x Si una función es creciente o decreciente diremos que es monótona.

♥ Decimos que f es estrictamente creciente en I si x,y I tales que x
♥ Decimos que f es estrictamente decreciente en I si x,y I tales que x
♥ Si una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente diremos que es estrictamente monótona.

EJERCICIOS DE APLICACIONES A LA DERIVADA (CORRECION)

1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.

c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece

Procedimiento:

-Se deriva la función:

R`(x)=-0,004x+0,8

-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:

R`(x)=0 ,
-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:

F

f ´ + 200 -


se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0


Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local

b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.

c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros

Solución gráfica



2. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x).ex, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que momento del intervalo circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez?

SOLUCIÓN

Nos piden q estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v.

Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer)

La derivada es:

v’(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x. ex, sacando factor común ex se llega a: v’(x)=((1-x)ex

Igualando a 0 nos da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q ex nunca puede ser cero)

Estudiamos v en los alrededores de


v ‘ + 1 - 2
--------------------------------------
y crece decrece


Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo:

v(x)= (2-x)ex

v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes)

v(0)=(2-0).1=2

v(2)=(2-2).1=0 como da la velocidad 0 aquí se detuvo.

LA GRÁFICA:

MAS DERIVADAS .....

DERIVADAS...........



♥ Y = X4 + 3X2 -6

Y´= 4X3 +6X


♥ Y = 6X3 - X2

Y´ = 18X2 -2X



♥ Y = X5 X2
----- - ----
A+B A-B

Y´= 5X 2X
---- - ----
A+B A-B


♥ Y = X3 - X2 + 1
-------------
5

Y´= 3X2 - 2X
-----------
5

♥ Y= 6X7/2 + 4X5/2 + 2X

Y´= 21X5/2 + 10X3/2 + 2


♥ Y= (X + 1)3
----------
X3/2

Y´= 3 (X + 1)2(X-1)
-----------------
2X5/2

DERIVADAS

DERIVACION DE FUNCIONES CON FORMULA d(xn) = nxn-1 DE UNA RAIZ CON DIVISION







DERIVADA DE UNA FUNCION LOGARITMICA







DERIVADA DE UNA FUNCION POTENCIAL


>


DERIVADA DE UNA DIVISION


F'(X)= 3X(1)-(3+2)3
-------------------
9X2



= 3X - 3X -6
-------------------
9X2


= -6 -2
------ = ------
9X2 3X2

Ejercicios sobre límites

Ejercicios


1. Aplicando la definición de límite, probar que:











Para comprobarlo vamos a tomar un ε=0,01.



Entonces cualquier punto que pertenezca a este entorno tiene que tener su imagen en el entorno:



Para x = 0.995 f(x)= (0.995 + 3)/2=1.9975.

Para x = 1.015 f(x)=(1.015 + 3)/2=2.0075.

2. Observa la gráfica de esta función f(x) y calcular estos límites.














3.Calcular el límite de:













4.Calcular el límite de:







5. Calcular el límite de: