calculo mabel maria rincon jaramillo

Sucesiones Geométricas
Definición de sucesión geométrica

Una sucesión

es una sucesión geométrica si

y si hay un número real

tal que para todo entero positivo k.

$a_{k+1} = a_{k}.r.$ .

El número

se conoce la razón común de la sucesión.
Observa que la razón común

es la razón entre dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión geométrica.

Formula para hallar el n-ésimo término de una sucesión geométrica
$a_{n}=a_{1}.r^{n-1}$ .

Teorema: fórmula para hallar

La n-ésima suma parcial

de una sucesión geométrica con primer término

y razón común

$S_{n} = a_{1} \frac {1-r^n}{1-r}$ .

Demostración
Por definición, la n-ésima suma parcial

de una sucesión geométrica es
$S_{n} = a_{1} + a_{1}r + a_{1}r^2 + ... + a_{1}r^(n-2) + a_{1}r^(n-1)$ . (1)

Si multiplicamos ambos lados de (1) por r obtenemos
$rS_{n} = a_{1}r + a_{1}r^2 + a_{1}r^3 + ... + a_{1}r^(n-1) + a_{1}r^(n)$ . (2)

Si restamos la ecuación (2) de la (1), todos los términos de la derecha (con excepción de dos) se cancelan y obtenemos:
$S_{n} - rS_{n} = a_{1} - a_{1}r^(n)$ .

factorizar ambos miembros.
$S_{n}(1 - r) = a_{1}(1 - r^n)$ .

dividir entre (1-r)
$S_{n} = a_{1} \frac {1 - r^n}{1 - r}$ .

Ejemplo

Pruebe que la sucesión

cuando n pertenece a los numeros Enteros es una sucesión aritmética.

Suma hasta el n-esimo término.

Generar el n-esimo término.

Definición de sucesión aritmética

Una sucesión

es una sucesión aritmética si hay un número real d tal que para todo entero positivo k.
$a_{k+1}=a_{k}+d$ .

El número

se le llama diferencial común de la sucesión.
Dada una sucesion aritmetica:

k+1 = a

+ d

Para todo entero positivo K. Esto nos da una formula recursiva para encontrar terminos sucesivos .A partir de cualquier numero real a1. obtendremos una sucesion aritmetica con diferencia comun d con solo agregar d a a1, luego a a1+d y asi sucesivamente, con lo que resulta observa que la diferencia común d es la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión aritmética.

El n-ésimo término de una sucesión aritmética
$a_{n}=a_{n-1}+(n-1)d$

Teorema: fórmulas para

es una sucesión aritmética con diferencia común d, entonces la n-ésima suma parcial

(esto es, la suma de los primeros términos), está dada por $S_{n}=\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d]$ o $S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{2})$

Demostración
Podemos escribir