Tercer Periodo (Sucesiones Geométricas)

Sucesiones Geométricas
Definición de sucesión geométrica


Una sucesión es una sucesión geométrica si y si hay un número real tal que para todo entero positivo k.

a_{k+1} = a_{k}.r..

El número se conoce la razón común de la sucesión.
Observa que la razón común es la razón entre dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión geométrica.

Formula para hallar el n-ésimo término de una sucesión geométrica
a_{n}=a_{1}.r^{n-1}.


Teorema: fórmula para hallar
La n-ésima suma parcial de una sucesión geométrica con primer término y razón común
S_{n} = a_{1} \frac {1-r^n}{1-r}.

Demostración
Por definición, la n-ésima suma parcial de una sucesión geométrica es
S_{n} = a_{1} + a_{1}r + a_{1}r^2 + ... + a_{1}r^(n-2) + a_{1}r^(n-1). (1)

Si multiplicamos ambos lados de (1) por r obtenemos
rS_{n} = a_{1}r + a_{1}r^2 + a_{1}r^3 + ... + a_{1}r^(n-1) + a_{1}r^(n). (2)

Si restamos la ecuación (2) de la (1), todos los términos de la derecha (con excepción de dos) se cancelan y obtenemos:
S_{n} - rS_{n} = a_{1} - a_{1}r^(n).

factorizar ambos miembros.
S_{n}(1 - r) = a_{1}(1 - r^n).

dividir entre (1-r)
S_{n} = a_{1} \frac {1 - r^n}{1 - r}.

Ejemplo

Pruebe que la sucesión cuando n pertenece a los numeros Enteros es una sucesión aritmética.

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Suma hasta el n-esimo término.


Generar el n-esimo término.

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