calculo mabel maria rincon jaramillo: Tercer Periodo (Sucesiones Geométricas)

Sucesiones Geométricas
Definición de sucesión geométrica

Una sucesión

es una sucesión geométrica si

y si hay un número real

tal que para todo entero positivo k.

$a_{k+1} = a_{k}.r.$ .

El número

se conoce la razón común de la sucesión.
Observa que la razón común

es la razón entre dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión geométrica.

Formula para hallar el n-ésimo término de una sucesión geométrica
$a_{n}=a_{1}.r^{n-1}$ .

Teorema: fórmula para hallar

La n-ésima suma parcial

de una sucesión geométrica con primer término

y razón común

$S_{n} = a_{1} \frac {1-r^n}{1-r}$ .

Demostración
Por definición, la n-ésima suma parcial

de una sucesión geométrica es
$S_{n} = a_{1} + a_{1}r + a_{1}r^2 + ... + a_{1}r^(n-2) + a_{1}r^(n-1)$ . (1)

Si multiplicamos ambos lados de (1) por r obtenemos
$rS_{n} = a_{1}r + a_{1}r^2 + a_{1}r^3 + ... + a_{1}r^(n-1) + a_{1}r^(n)$ . (2)

Si restamos la ecuación (2) de la (1), todos los términos de la derecha (con excepción de dos) se cancelan y obtenemos:
$S_{n} - rS_{n} = a_{1} - a_{1}r^(n)$ .

factorizar ambos miembros.
$S_{n}(1 - r) = a_{1}(1 - r^n)$ .

dividir entre (1-r)
$S_{n} = a_{1} \frac {1 - r^n}{1 - r}$ .

Ejemplo

Pruebe que la sucesión