Sucesiones.
Definición.
Una sucesión es una función definida sobre los enteros naturales. Es costumbre emplear las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que se usan para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente n (por natural) en vez de x, habitual para las variables reales.
Por convención, se escribe un en vez de u(n) la imagen de n por la sucesión u, es decir, el término número n+1 de la sucesión u ya que el primer término es habitualmente u0.
Existen esencialmente dos maneras de definir una sucesión: explícita o implícitamente.
Definición explícita.
La definición es explícita cuando se da una fórmula que permite hallar un mediante un cálculo único donde no interviene otra variable que n. En otras palabras, un es una función de n: un = f(n).
Es el caso representado por el primer gráfico, donde la función es polinomial, los términos de la sucesión son las ordenadas de los puntos rojos cuyas abcisas son los enteros naturales.
Cuando la función f está definida también en los reales (como en la figura), el estudio de f (límite en + ∞ variaciones, extremos) permite conocer perfectamente u:
Si f tiende hacia l (en + ∞) entonces también lo hace u. La recíproca es errónea, como lo muestra la función f(x) = sen(2π·x), que no tiene límite mientras que un = f(n) es siempre nulo y u tiende por lo tanto hacia cero.
Si f es creciente en un intervalo [a; b] entonces u lo es para los valores enteros positivos del intervalo (o sea sobre [a; b] ∩ ).
Para los extremos la cosa se complica: si los extremos de f no corresponden a valores enteros de x entonces se tiene que considerar los naturales más próximos y comparar los un correspondientes. En la figura, f tiene un mínimo relativo en el intervalo ]2; 3[, y como u2 < u3, u2 es un mínimo relativo de u. El máximo relativo de f en ]6; 7[ da dos máximos relativos de u porque u6 = u7.
Sin embargo, existen métodos para estudiar u sin estudiar f: el sentido de variación se puede determinar con el signo de un+1 - un ( si es positivo, u crece), o comparando la fracción un+1/un con 1 (apropiado cuando u es de signo constante, a ser posible positivo). Estos cálculos pueden ser más sencillos cuando f tiene una función derivada complicada.
En algunos casos, la función f que aparece en un = f(n) no puede extenderse a R.
Es el caso si definimos un como el número de factores propios de n por ejemplo, u otras funciones aritméticas, como la función fi de Euler o la función µ de Möbius. El estudio clásico de las funciones, mediante la derivación, es entonces imposible.
Definición implícita
La definición es implícita cuando ... no es explicita. Esto significa que un no sólo depende de n sino también de otros términos de la sucesión que se tendrán que calcular antes.
Por ejemplo se puede fijar uo = 1 y decidir que para cualquier natural n > 0, un = n·un-1. Para hallar u3 digamos, hay que calcular u2 lo que necesita el conocimiento de u1 el cual se calcula con uo.
Obtenemos: u1 = 1×u0 = 1, luego u2 = 2×u1 = 2 y por fin u3 = 3×u2 = 6. Son los factoriales.
Otro ejemplo muy conocido es la sucesión de Fibonacci definida por un+2 = un+1 + un.
La fórmula que define un termino con relación a los anteriores se llama relación de inducción.
Cuando el término general un sólo depende del término anterior, un-1, es decir cuando existe f tal que un = f(un-1) o, lo que viene a ser lo mismo un+1 = f(un) (para todo natural n), entonces existe un método gráfico de construirla muy instructivo (ver imagen):
En un sistema de coordenadas se trazan la curva de f y la diagonal (de ecuación y = x). Se empieza por el punto de abcisa del eje horizontal uo y se sube (o baja) verticalmente hasta encontrar la curva de f. Como u1 = f(uo), la ordenada de este punto es u1. Sin embargo para obtener u2 necesitamos tener u1 en las abcisas. Por esto nos desplazamos horizontalmente hasta encontrar la diagonal. En la diagonal, abcisa y ordenanda son iguales (por su ecuación y = x), luego bajamos hasta encontrar el eje de las abcisas lo que nos permite leer el valor de u1. A partir de ahí el procesoo se repite igual, pues u2 = f(u1).
En la práctica, basta trazar la espiral o escalera entre la curva y la diagonal para evidenciar el comportamiento de la sucesión (creciente, decreciente u oscilatoria) y su eventual límite denotado l (ele): si es finito, tiene que ser la abcisa de un punto de intersección de la curva de f y de la diagonal porque tiene que verificar l = f(l), relación obtenida tomando el límite de un = f(un-1) ( con f continua). Si se acepta la notación f(+ ∞) para designar el límite en el infinito, entonces la relación anterior se extiende tal cual a los infinitos.
Supongamos f continua y derivable en l, límite potencial de la sucesión. Entonces se puede predecir su comportamiento local cerca de l, es decir, si un es próximo a l y cómo evoluciona la sucesión a partir de este término. Este comportamiento, en primera aproximación, sólo depende de f'(l), la derivada de f en l:
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